Question

如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点，将△ABC绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜180°)，得到△AB′C′(如图②)．

(1)探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；

(2)当DB′∥AE时，试求旋转角α的度数．

Answer

（1）DB′＝EC′，见解析 （2）60°

【解析】

【解析】
(1)DB′＝EC′.理由如下：

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点，

∴AD＝AE＝AB，∵△ABC绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜180°)，得到△AB′C′，

∴∠B′AD＝∠C′AE＝a，AB′＝AB，AC′＝AC，∴AB′＝AC′，

在△B′AD和C′AE中，

∵ ∴≌

∴DB′＝EC′；

(2)∵DB′∥AE，∴∠B′DA＝∠DAE＝90°，

在Rt△B′DA中，

∵AD＝AB＝AB′，

∴∠AB′D＝30°，∴∠B′AD＝90°－30°＝60°，

即旋转角α的度数为60°.