Question

如图，直线y＝－x＋6分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y＝x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿轴向左运动．过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．

（1）求点C的坐标；

（2）当0＜t＜5时，求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；

（3）当t＞0时，直接写出点（4，）在正方形PQMN内部时t的取值范围．

Answer

（1）（3，）；（2）当0＜t≤时，S=-2（t-）2+，当≤t＜5时，S=4（t-5）2，；（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用已知函数解析式，求两直线的交点，得点C的坐标即可；

（2）根据几何关系把s用t表示，注意当MN在AD上时，这一特殊情况，进而分类讨论得出；

（3）利用（2）中所求，结合二次函数最值求法求出即可．

试题解析: （1）由题意，得

，解得：，

∴C（3，）；

（2）∵直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，

∴y=0时，，解得；x=8，

∴A点坐标为；（8，0），

根据题意，得AE=t，OE=8-t．

∴点Q的纵坐标为（8-t），点P的纵坐标为-（8-t）+6=t，

∴PQ=（8-t）-t=10-2t．

当MN在AD上时，10-2t=t，

∴t=．

当0＜t≤时，S=t（10-2t），即S=-2t2+10t．

当＜t＜5时，S=（10-2t）2，即S=4t2-40t+100；

当0＜t≤时，S=-2（t-）2+，

∴t=时，S最大值=．

当≤t＜5时，S=4（t-5）2，

∵t＜5时，S随t的增大而减小，

∴t=时，S最大值=．

∵＞，

∴S的最大值为．

（3）点（4，）在正方形PQMN内部时t的取值范围是.

考点: 一次函数综合题．