Question

锐角中，，，两动点分别在边上滑动，且，以为边向下作正方形，设其边长为，正方形与公共部分的面积为．

（1）中边上高          ；

（2）当         时，恰好落在边上（如图1）；

（3）当在外部时（如图2），求关于的函数关系式（注明的取值范围），并求出为何值时最大，最大值是多少？

Answer

（1）AD=4；

（2）x=2.4；

（3）y=﹣（x﹣3）2+6．当x=3时，y有最大值，最大值是6．

【解析】

试题分析：（1）利用矩形的性质和相似三角形的性质，根据MN∥BC，得△AMN∽△ABC，求出△ABC中边BC上高AD的长度．

（2）因为正方形的位置在变化，但是△AMN∽△ABC没有改变，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，得出等量关系，代入解析式，

（3）用含x的式子表示矩形MEFN边长，从而求出面积的表达式．

试题解析：（1）由BC=6，S△ABC=12，得AD=4；

（2）当PQ恰好落在边BC上时，

∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．

∴，

即，x=2.4；

（3）设BC分别交MP，NQ于E，F，则四边形MEFN为矩形．

设ME=NF=h，AD交MN于G（如图2）GD=NF=h，AG=4﹣h．

∵MN∥BC，

∴△AMN∽△ABC．

∴，即，

∴．

∴y=MN•NF=x（﹣x+4）=﹣x2+4x（2.4＜x＜6），

配方得：y=﹣（x﹣3）2+6．

∴当x=3时，y有最大值，最大值是6．

考点：1.二次函数综合题2.矩形的性质．