Question

已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．

（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；

（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．

Answer

(1)（2，6）．(2) m=（0＜t＜11）．(3) （，6）或（，6）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；

（Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；

（Ⅲ）首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′A的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与m=，即可求得t的值．

试题解析：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6，

在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t．

∵OP2=OB2+BP2，

即（2t）2=62+t2，

解得：t1=2，t2=-2（舍去）．

∴点P的坐标为（2，6）．

（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，

∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，

∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，

∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，

∴∠OPB+∠QPC=90°，

∵∠BOP+∠OPB=90°，

∴∠BOP=∠CPQ．

又∵∠OBP=∠C=90°，

∴△OBP∽△PCQ，

∴，

由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11-t，CQ=6-m．

∴．

∴m=（0＜t＜11）．

（Ⅲ）过点P作PE⊥OA于E，

∴∠PEA=∠QAC′=90°，

∴∠PC′E+∠EPC′=90°，

∵∠PC′E+∠QC′A=90°，

∴∠EPC′=∠QC′A，

∴△PC′E∽△C′QA，

∴，

∵PC′=PC=11-t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6-m，

∴AC′=，

∴，

∴，

∴3（6-m）2=（3-m）（11-t）2，

∵m=，

∴3（-t2+t）2=（3-t2+t-6）（11-t）2，

∴t2（11-t）2=（-t2+t-3）（11-t）2，

∴t2=-t2+t-3，

∴3t2-22t+36=0，

解得：t1=，t2=，

点P的坐标为（，6）或（，6）．

考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.坐标与图形性质；3.全等三角形的判定与性质；4.勾股定理；5.相似三角形的判定与性质．