Question

如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交BC于点D，且∠DAC=∠B．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）证明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90°，继而可判断AC是⊙O的切线．

（2）根据（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的长度，继而判断∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长．

（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，

∴△ADC∽△BAC，

∴∠BAC=∠ADC=90°，

∴BA⊥AC，

∴AC是⊙O的切线．

（2）∵BD=5，CD=4，

∴BC=9，

∵△ADC∽△BAC（已证），

∴，即AC2=BC×CD=36，

解得：AC=6，

在Rt△ACD中，AD=，

∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，

∴CA=CF=6，

∴DF=CA-CD=2，

在Rt△AFD中，AF=．

考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定与性质．