Question

如图，在平面直角坐标系中，直线=分别与轴，轴相交于两点，点是轴的负半轴上的一个动点，以为圆心，3为半径作.

（1）连结，若，试判断与轴的位置关系，并说明理由；

（2）当为何值时，以与直线=的两个交点和圆心为顶点的三角形是正三角形？

Answer

（1）⊙P与x轴相切．理由见解析；（2）-8或k=--8

【解析】

试题分析：（1）通过一次函数可求出A、B两点的坐标及线段的长，再在Rt△AOP利用勾股定理可求得当PB=PA时k的值，再与圆的半径相比较，即可得出⊙P与x轴的位置关系．

（2）根据正三角形的性质，分两种情况讨论，

①当圆心P在线段OB上时，②当圆心P在线段OB的延长线上时，从而求得k的值．

试题解析：（1）⊙P与x轴相切，

∵直线y=-2x-8与x轴交于A（-4，0），与y轴交于B（0，-8），

∴OA=4，OB=8．

由题意，OP=-k，

∴PB=PA=8+k．

∵在Rt△AOP中，k2+42=（8+k）2

∴k=-3，

∴OP等于⊙P的半径．

∴⊙P与x轴相切．

（2）设⊙P1与直线l交于C，D两点，连接P1C，P1D，

当圆心P1在线段OB上时，作P1E⊥CD于E，

∵△P1CD为正三角形，

∴DE=CD=，P1D=3．

∴P1E=．

∵∠AOB=∠P1EB=90°，∠ABO=∠P1BE，

∴△AOB∽△P1EB．

∴，即，

∴P1B＝.

∴P1O=BO-BP1=8-．

∴P1（0，-8）．

∴k=-8．

当圆心P2在线段OB延长线上时，同理可得P2（0，--8）．

∴k=--8．

∴当k=-8或k=--8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形．

考点：1.切线的判定；2.一次函数图象上点的坐标特征；3.等边三角形的性质；4.勾股定理；5.相似三角形的判定与性质．