Question

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长；

（3）填空：在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为              ．

Answer

（1）证明见解析；（2）BF=10；（3）5−5＜r＜5+5．

【解析】

试题分析：（1）欲证明直线BF是⊙O的切线，只需证明AB⊥BF；

（2）根据圆心角、弧、弦间的关系，等边三角形的判定证得△AOD是等边三角形，所以在Rt△ABF中，∠ABF=90°，∠OAD=60°，AB=10，则利于∠A的正切三角函数的定义来求BF边的长度；

（3）根据已知条件知⊙O与⊙C相交．

（1）证明：如图，∵∠CBF=∠CFB，

∴CB=CF．    

又∵AC=CF，

∴CB=AF，

∴△ABF是直角三角形，

∴∠ABF=90°，即AB⊥BF．

又∵AB是直径，

∴直线BF是⊙O的切线．

（2）【解析】
如图，连接DO，EO，

∵点D，点E分别是弧AB的三等分点，

∴∠AOD=60°．

又∵OA=OD，

∴△AOD是等边三角形，

∴OA=AD=OD=5，∠OAD=60°，

∴AB=10．

∴在Rt△ABF中，∠ABF=90°，BF=AB•tan60°=10，即BF=10；

（3）如图，连接OC．则OC是Rt△ABF的中位线，

∵由（2）知，BF=10，

∴圆心距OC=5，

∵⊙O半径OA=5．

∴5−5＜r＜5+5．

故填：5−5＜r＜5+5．

考点：圆的综合题．