Question

某宾馆有30个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天120元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于210元．设每个房间的房价增加x元（x为10的正整数倍）．

（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值 范围；

（2）设宾馆一天的 利润为w元，求w与x的函数关系式；

（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？

Answer

（1）y=30-，且0＜x≤90，且x为10的正整数倍；（2）w=-x2+20x+3000．（3）21间，最大利润是3990元．

【解析】

试题分析：（1）理解每个房间的房价每增加x元，则减少房间间，则可以得到y与x之间的关系；

（2）每个房间订住后每间的利润是房价减去20元，每间的利润与所订的房间数的积就是利润；

（3）求出二次函数的对称轴，根据二次函数的增减性以及x的范围即可求解．

试题解析：：（1）由题意得：

y=30-，且0＜x≤90，且x为10的正整数倍；

（2）w=（120-20+x）（30-间），

整理，得w=-x2+20x+3000．

（3）w=-x2+20x+3000

=--（x-100）2+4000．

∵a=-，

∴抛物线的开口向下，当x＜100时，w随x的增大而增大，又0＜x≤90，因而当x=90时，利润最大，此时一天订住的房间数是：30-- =21间，最大利润是3990元．

答：一天订住21个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润为3990元．

考点：二次函数的应用．