Question

已知直角坐标系中有一点A(-4，3)，点B在x轴上，△AOB是等腰三角形。

(1)求满足条件的所有点B的坐标。（直接写出答案）

(2)求过O、A、B三点且开口向下的抛物线的函数解析式。（只需求出满足条件的即可）。

(3)在(2)中求出的抛物线上存在点p，使得以O、A、B、P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积。

Answer

(1) （-5，0）；（5，0）；（-8，0）；（-，0）．(2) 当AB=OA时，y=-x2-x；当OA=OB时，同理得y=-x2-x；(3) （4，-9），48．（-12，-9），48. (1，-），．（-9，-27），75．

【解析】

试题分析：（1）根据点A的坐标，易求得OA=5，若△AOB是等腰三角形，应分三种情况考虑：

①OA=OB=5，由于点B的位置不确定，因此要分B在x轴正、负半轴两种情况求解，已知了OB的长，即可得到点B的坐标；

②OA=AB=5，此时点B只能在x轴负半轴上，那么点B的横坐标应为点A横坐标的2倍，可据此求得点B的坐标；

③AB=OB=5，此时点B只能在x轴负半轴上，可在x轴上截取AD=OA，通过构建相似三角形：△OBA∽△OAD，通过所得比例线段来求出OB的长，从而得到点B的坐标．

（2）任选一个（1）题所得的B点坐标，利用待定系数法求解即可．

（3）解此题时，虽然不同的抛物线有不同的解，但解法一致；分两种情况：

①OA∥BP时，可分别过A、P作x轴的垂线，设垂足为C、E，易证得△AOC∽△PBE，根据所得比例线段，即可求得点P的坐标．而梯形ABPO的面积可化为△ABO、△PBO的面积和来求出．

②OP∥AB时，方法同上，过P作PF⊥x轴于F，然后通过相似三角形：△ABC∽△POF，来求出P点坐标，梯形面积求法同上．（当OA=AB时，两种情况的点P正好关于抛物线对称轴对称，可据此直接求出P点坐标，避免重复计算．）

作AC⊥x轴，由已知得OC=4，AC=3，OA=

（1）当OA=OB=5时，

如果点B在x轴的负半轴上，如图（1），点B的坐标为（-5，0）；

如果点B在x轴的正半轴上，如图（2），点B的坐标为（5，0）；

当OA=AB时，点B在x轴的负半轴上，如图（3），BC=OC，则OB=8，点B的坐标为（-8，0）；

当AB=OB时，点B在x轴的负半轴上，如图（4），在x轴上取点D，使AD=OA，可知OD=8．

由∠AOB=∠OAB=∠ODA，可知△AOB∽△ODA，

则，

解得OB=，

点B的坐标为（-，0）．

（2）当AB=OA时，抛物线过O（0，0），A（-4，3），B（-8，0）三点，

设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx，

可得方程组

，

解得，

∴y=-x2-x；

当OA=OB时，同理得y=-x2-x；

（3）当OA=AB时，若BP∥OA，如图（5），作PE⊥x轴，

则∠AOC=∠PBE，∠ACO=∠PEB=90°，

∴△AOC∽△PBE，

∴．

设BE=4m，PE=3m，则点P的坐标为（4m-8，-3m），

代入y=-x2-x，

解得m=3；

则点P的坐标为（4，-9），

S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=48．

若OP∥AB，根据抛物线的对称性可得点P的坐标为（-12，-9），

S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=48．

当OA=OB时，若BP∥OA，如图（6），作PF⊥x轴，

则∠AOC=∠PBF，∠ACO=∠PFB=90°，

△AOC∽△PBF，

；

设BF=4m，PF=3m，则点P的坐标为（4m-5，-3m），

代入y=-x2-x，

解得m=．则点P的坐标为（1，-），

S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=．

若OP∥AB（图略），作PF⊥x轴，

则∠ABC=∠POF，∠ACB=∠PFO=90°，

△ABC∽△POF，

；

设点P的坐标为（-n，-3n），

代入y=-x2-x，

解得n=9．

则点P的坐标为（-9，-27），S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=75．

考点：二次函数综合题．