Question

如图，一货轮在海上由西往东行驶，从A、B两个小岛中间穿过．当货轮行驶到点P处时，测得小岛A在正北方向，小岛B位于南偏东24.5°方向；货轮继续前行12海里，到达点Q处，又测得小岛A位于北偏西49°方向，小岛B位于南偏西41°方向．

（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；

（2）求A，B间的距离．（参考数据cos41°≈0.75）

Answer

(1)相等，理由见解析；（2）20海里．

【解析】

试题分析：（1）分别求出∠QPB和∠QBP的度数，可得∠BPQ=∠PBQ，即可得出PQ=BQ；

（2）在Rt△APQ中，根据PQ的长度和∠AQP，利用三角函数求出AQ的长度，然后根据已知角的度数得出∠AQB=90°，在Rt△AQB中，解直角三角形，即可求得AB的长度．

（1）线段BQ与PQ相等．

证明如下：∵∠PQB=90°-41°=49°，

∴∠BPQ=90°-24.5°=65.5°，

∠PBQ=180°-49°-65.5°=65.5°，

∴∠BPQ=∠PBQ，

∴BQ=PQ；

（2）在Rt△APQ中，

∵∠PQA=90°-49°=41°，

∴AQ=（海里），

又∵∠AQB=180°-49°-41°=90°，

∴△ABQ是直角三角形，

∵BQ=PQ=12海里，

∴AB2=AQ2+BQ2=162+122，

∴AB=20（海里），

答：A、B的距离为20海里．

考点：解直角三角形的应用-方向角问题．