Question

在△ABC中， AB=AC ，∠A=300，将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 600得到线段 BD ，再将线段BD平移到EF，使点E在AB上，点F在AC上．

（1）如图 1，直接写出∠ABD和∠CFE的度数；

（2）在图1中证明：AE =CF；

（3）如图2，连接 CE ，判断△CEF的形状并加以证明．

Answer

（1）15°，45°；（2）证明见解析；（3）△CEF是等腰直角三角形，证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC的度数，由旋转的性质得到∠DBC的度数，从而得到∠ABD的度数；根据三角形外角性质即可求得∠CFE的度数.

（2）连接CD、DF，证明△BCD是等边三角形，得到CD =BD，由平移的性质得到四边形BDFE是平行四边形，从而AB∥FD，证明△AEF≌△FCD即可得AE =CF．

（3）过点E作EG⊥CF于G，根据含30度直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质即可证明△CEF是等腰直角三角形.

（1）∵在△ABC中， AB=AC ，∠A=300，∴∠ABC=750.

∵将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 600得到线段 BD ，即∠DBC=600．∴∠ABD= 15°.

∴∠CFE=∠A+∠ABD=45°．

（2）如图，连接CD、DF．

∵线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60得到线段 BD，∴BD =BC ，∠CBD =600．∴△BCD是等边三角形．

∴CD =BD ．

∵线段BD平移到EF，∴EF∥BD ，EF= BD ．

∴四边形BDFE是平行四边形，EF= CD．

∵AB=AC ，∠A=300，∴∠ABC=∠ACB=750．∴∠ABD=∠ACD=15°．

∵四边形BDFE是平行四边形，∴AB∥FD．∴∠A=∠CFD.

∴△AEF≌△FCD（AAS）．

∴AE =CF．

（3）△CEF是等腰直角三角形，证明如下：

如图，过点E作EG⊥CF于G，

∵∠CFE =45°，∴∠FEG=45°．∴EG=FG．

∵∠A=300，∠AGE=90°，∴．

∵AE=CF，∴．∴．∴G为CF的中点．∴EG为CF的垂直平分线．

∴EF=EC．

∴∠CEF=∠FEG=90°．

∴△CEF是等腰直角三角形．

考点：1.旋转和平移问题；2．等腰三角形的性质；3．三角形外角性质；4．等边三角形的判定和性质；5.平行四边形的判定和性质；6.全等三角形的判定和性质；7．含30度直角三角形的性质；8．垂直平分线的判定和性质；9．等腰直角三角形的判定.