Question

已知关于的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求m的值；

（3）在（2）的条件下，设抛物线与x轴交点为A、B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．点O为坐标原点，点P在直线BC上，且OP=BC，求点P的坐标．

Answer

（1）证明见解析；（2）1；（3）或．

【解析】

试题分析：（1）证明一元二次方程根的判别式大于等于0即可.

（2）解一元二次方程，根据方程有两个互不相等的负整数根列不等式求解即可.

（3）求出BC的长，由OP=BC求得OP；应用待定系数法求出BC 的解析式，从而由点P在直线BC上，设，应用勾股定理即可求得点P的坐标．

（1）∵≥0，

∴方程总有两个实数根．

（2）∵，

∴，．

∵方程有两个互不相等的负整数根，

∴．∴或.∴．

∵m为整数，∴m=1或2或3．

当m=1时，，符合题意；

当m=2时，，不符合题意；

当m=3时，，但不是整数，不符合题意．

∴m=1．

（3）m=1时，抛物线解析式为．

令，得；令x=0，得y=3．

∴A（-3，0），B（-1，0），C（0，3）．∴．

∴OP=BC．

设直线BC的解析式为，

∴ ，∴.

∴直线BC的解析式为．

设，由勾股定理有：，

整理，得 ，解得 ．

∴或．

考点：1．一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理.