Question

在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．

（1）如图1，当点G在BC边上时，易证：PG=PC．（不必证明）

（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；

（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．

Answer

（2)猜想：PG=PC,证明见解析

(3)猜想：PG=PC

【解析】

试题分析：（2）延长GP交DA于点E，连接EC，GC，先证明△DPE≌△FPG，再证得△CDE≌△CBG，利用在Rt△CPG中，∠PCG=60°，所以PG=PC．

（3）PG=PC．

试题解析：（2）猜想：PG=PC

如图2，延长GP交DA于点E，连接EC，GC，

∵∠ABC=60°，△BGF正三角形

∴GF//BC//AD，

∴∠EDP=∠GFP，

又∵DP=FP，∠DPE=∠FPG

∴△DPE≌△FPG（ASA）

∴PE=PG，DE=FG=BG，

∵∠CDE=CBG=60°，CD=CB，

∴△CDE≌△CBG（SAS）

∴CE=CG，∠DCE=∠BCG，

∴∠ECG=∠DCB=120°，

∵PE=PG，

∴CP⊥PG，∠PCG=∠ECG=60°

∴PG=PC．

（3）猜想：PG=PC．

考点：1、全等三角形的判定；2、菱形的性质；3、等边三角形的性质