Question

如图①，已知等腰梯形ABCD的周长为48，面积为S，AB∥CD，∠ADC=60°，设AB=3x．

（1）用x表示AD和CD；

（2）用x表示S，并求S的最大值；

（3）如图②，当S取最大值时，等腰梯形ABCD的四个顶点都在⊙O上，点E和点F分别是AB和CD的中点，求⊙O的半径R的值．

Answer

（1）AD=18-2x，CD=16+x；（2）S=-2（x-2）2+72，当x=2时，S有最大值72；（3）R=2．

【解析】

试题分析：（1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如图①，易得四边形AHGB为矩形，则HG=AB=3x，再根据等腰梯形的性质得AD=BC，DH=CG，在Rt△ADH中，设DH=t，根据含30度的直角三角形三边的关系得AD=2t，AH=t，然后根据等腰梯形ABCD的周长为48得3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8-x，于是可得AD=18-2x，CD=16+x；

（2）根据梯形的面积公式计算可得到S=-2x2+8x+64，再进行配方得S=-2（x-2）2+72，然后根据二次函数的最值问题求解；

（3）连结OA、OD，如图②，由（2）得到x=2时，则AB=6，CD=18，等腰梯形的高为6，所以AE=3，DF=9，由于点E和点F分别是AB和CD的中点，根据等腰梯形的性质得直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴，所以EF垂直平分AB和CD，EF为等腰梯形ABCD的高，即EF=6，根据垂径定理的推论得等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上，设OE=a，则OF=6-a，在Rt△AOE中，利用勾股定理得a2+32=R2，在Rt△ODF中，利用勾股定理得（6-a）2+92=R2，然后消去R得到a的方程a2+32=（6-a）2+92，解得a=5，最后利用R2=（5）2+32求解．

试题解析：（1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如图①，

则四边形AHGB为矩形，

∴HG=AB=3x，

∵四边形ABCD为等腰梯形，

∴AD=BC，DH=CG，

在Rt△ADH中，设DH=t，

∵∠ADC=60°，

∴∠DAH=30°，

∴AD=2t，AH=t，

∴BC=2t，CG=t，

∵等腰梯形ABCD的周长为48，

∴3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8-x，

∴AD=2（8-x）=18-2x，

CD=8-x+3x+8-x=16+x；

（2）S=（AB+CD）•AH

=（3x+16+x）•（8-x）

=-2x2+8x+64，

∵S=-2（x-2）2+72，

∴当x=2时，S有最大值72；

（3）连结OA、OD，如图②，

当x=2时，AB=6，CD=16+2=18，等腰梯形的高为×（8-2）=6，

则AE=3，DF=9，

∵点E和点F分别是AB和CD的中点，

∴直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴，

∴EF垂直平分AB和CD，EF为等腰梯形ABCD的高，即EF=6，

∴等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上，

设OE=a，则OF=6-a，

在Rt△AOE中，

∵OE2+AE2=OA2，

∴a2+32=R2，

在Rt△ODF中，

∵OF2+DF2=OD2，

∴（6-a）2+92=R2，

∴a2+32=（6-a）2+92，解得a=5，

∴R2=（5）2+32=84，

∴R=2．

【考点】圆的综合题．