Question

如图，抛物线y=－x²+x－2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两平行线交于点D，将△BDC绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到△FEC，连接BF．

（1）求点B，C所在直线的函数解析式；

（2）求△BCF的面积；

（3）在线段BC上是否存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）直线BC的解析式为y=x﹣3；

（2）△BCF的面积为10；

（3）在线段BC上存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似， P点坐标为（2，﹣1）或（，﹣）．

【解析】

试题分析：（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B，C的坐标，再根据待定系数法可得点B，C所在直线的函数解析式；

（2）根据勾股定理可得BC的长，根据旋转的性质和三角形面积公式即可求解；

（3）存在．分两种情况讨论：①过A作AP1⊥x轴交线段BC于点P1，则△BAP1∽△BOC；②过A作AP2⊥BC，垂足点P2，过点P2作P2Q⊥x轴于点Q．则△BAP2∽△BCO；依此讨论即可求解．

试题解析：（1）当y=0时，﹣x2+x﹣2=0，

解得x1=2，x2=4，

∴点A，B的坐标分别为（2，0），（4，0），

当x=0时，y=﹣2，

∴C点的坐标分别为（0，﹣2），

设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，

解得．

∴直线BC的解析式为y=x﹣3；

（2）∵CD∥x轴，BD∥y轴，

∴∠ECD=90°，

∵点B，C的坐标分别为（4，0），（0，﹣2），

∴BC==2，

∵△FEC是由△BDC绕点C逆时针旋转得到，

∴△BCF的面积=BC•FC=×2×2=10；

（3）存在．分两种情况讨论：

①过A作AP1⊥x轴交线段BC于点P1，则△BAP1∽△BOC，

∵点A的坐标为（2，0），

∴点P1的横坐标是2，

∵点P1在点BC所在直线上，

∴y=x﹣2=×2﹣2=﹣1，

∴点P1的坐标为（2，﹣1）；

②过A作AP2⊥BC，垂足点P2，过点P2作P2Q⊥x轴于点Q．

∴△BAP2∽△BCO，

∴,

∴，

解得AP2=，

∵，

∴AP2•BP=CO•BP2，

∴×4=2BP2，

解得BP2=，

∵AB•QP2=AP2•BP2，

∴2QP2=×，

解得QP2=，

∴点P2的纵坐标是﹣，

∵点P2在BC所在直线上，

∴x=，

∴点P2的坐标为（，﹣），

∴满足条件的P点坐标为（2，﹣1）或（，﹣）．

考点：二次函数综合题．