Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙O于点E，且=．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若tan∠CAB=，BC=3，求DE的长．

Answer

(1)证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连结OC，由，根据圆周角定理得∠1=∠2，而∠1=∠OCA，则∠2=∠OCA，则可判断OC∥AD，由于AD⊥CD，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；

（2）连结BE交OC于F，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，在Rt△ACB中，根据正切的定义得AC=4，再利用勾股定理计算出AB=5，然后证明Rt△ABC∽Rt△ACD，利用相似比先计算出AD=，再计算出CD=；根据垂径定理的推论由得OC⊥BE，BF=EF，于是可判断四边形DEFC为矩形，所以EF=CD=，则BE=2EF=，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理计算出AE=，再利用DE=AD﹣AE求解．

试题解析：（1）证明：连结OC，如图，

∵，

∴∠1=∠2，

∵OC=OA，

∴∠1=∠OCA，

∴∠2=∠OCA，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）【解析】
连结BE交OC于F，如图，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ACB中，tan∠CAB=，

而BC=3，

∴AC=4，

∴AB=，

∵∠1=∠2，

∴Rt△ABC∽Rt△ACD，

∴，即，解得，

∵，即，解得，

∵，

∴OC⊥BE，BF=EF，

∴四边形DEFC为矩形，

∴，

∴，

∵AB为直径，

∴∠BEA=90°，

在Rt△ABE中， ，

∴．

【考点】切线的判定．