Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合，OD交BC于点F，OE经过点C，且∠DOE=∠B．

（1）证明△COF是等腰三角形，并求出CF的长；

（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转，OD，OE与边AC分别交于点M，N（如图2），当CM的长是多少时，△OMN与△BCO相似？

Answer

(1)证明见解析. ．（2）当CM的长是或时，△OMN与△BCO相似．

【解析】

试题分析：（1）易证∠OCB=∠B，由条件∠DOE=∠B可得∠OCB=∠DOE，从而得到△COF是等腰三角形，过点F作FH⊥OC，垂足为H，如图1，由等腰三角形的三线合一可求出CH，易证△CHF∽△BCA，从而可求出CF长．

（2）题中要求“△OMN与△BCO相似”，并没有指明对应关系，故需分情况讨论，由于∠DOE=∠B，因此△OMN中的点O与△BCO中的点B对应，因而只需分两种情况讨论：①△OMN∽△BCO，②△OMN∽△BOC．当△OMN∽△BCO时，可证到△AOM∽△ACB，从而求出AM长，进而求出CM长；当△OMN∽△BOC时，可证到△CON∽△ACB，从而求出ON，CN长．然后过点M作MG⊥ON，垂足为G，如图3，可以求出NG．并可以证到△MGN∽△ACB，从而求出MN长，进而求出CM长．

试题解析：（1）∵∠ACB=90°，点O是AB的中点，

∴OC=0B=OA=5．

∴∠OCB=∠B，∠ACO=∠A．

∵∠DOE=∠B，

∴∠FOC=∠OCF．

∴FC=FO．

∴△COF是等腰三角形．

过点F作FH⊥OC，垂足为H，如图1，

∵FC=FO，FH⊥OC，

∴CH=OH=，∠CHF=90°．

∵∠HCF=∠B，∠CHF=∠BCA=90°，

∴△CHF∽△BCA．

∴．

∵CH=，AB=10，BC=6，

∴CF=．

∴CF的长为．

（2）①若△OMN∽△BCO，如图2，

则有∠NMO=∠OCB．

∵∠OCB=∠B，

∴∠NMO=∠B．

∵∠A=∠A，

∴△AOM∽△ACB．

∴．

∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，

∴AC=8．

∵AO=5，AC=8，AB=10，

∴AM=．

∴CM=AC-AM=．

②若△OMN∽△BOC，如图3，

则有∠MNO=∠OCB．

∵∠OCB=∠B，

∴∠MNO=∠B．

∵∠ACO=∠A，

∴△CON∽△ACB．

∴．

∵BC=6，AB=10，AC=8，CO=5，

∴ON=，CN=．

过点M作MG⊥ON，垂足为G，如图3，

∵∠MNO=∠B，∠MON=∠B，

∴∠MNO=∠MON．

∴MN=MO．

∵MG⊥ON，即∠MGN=90°，

∴NG=OG=．

∵∠MNG=∠B，∠MGN=∠ACB=90°，

∴△MGN∽△ACB．

∴．

∵GN=，BC=6，AB=10，

∴MN=．

∴CM=CN-MN=-=．

∴当CM的长是或时，△OMN与△BCO相似．

【考点】1.圆的综合题；2.全等三角形的判定与性质；3.直角三角形斜边上的中线；4.勾股定理；5.相似三角形的判定与性质．