Question

已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA．

（1）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；

（2）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC，

①AE与OD的大小有什么关系？为什么？

②求∠ODC的度数．

Answer

(1) ∠ODC=45°；(2) AE=OD．理由见解析；∠ODC=36°．

【解析】

试题分析：（1）连接OC，因为CD是⊙O的切线，得出∠OCD=90°，由OC=CD，得出∠ODC=∠COD，即可求得．

（2）连接OE，

①证明△AOE≌△OCD，即可得AE=OD；

②利用等腰三角形及平行线的性质，可求得∠ODC的度数．

试题解析：（1）如图①，连接OC，

∵OC=OA，CD=OA，

∴OC=CD，

∴∠ODC=∠COD，

∵CD是⊙O的切线，

∴∠OCD=90°，

∴∠ODC=45°；

（2）如图②，连接OE．

∵CD=OA，∴CD=OC=OE=OA，

∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵AE∥OC，

∴∠2=∠3．

设∠ODC=∠1=x，则∠2=∠3=∠4=x．

∴∠AOE=∠OCD=180°-2x．

①AE=OD．理由如下：

在△AOE与△OCD中，

∴△AOE≌△OCD（SAS），

∴AE=OD．

②∠6=∠1+∠2=2x．

∵OE=OC，∴∠5=∠6=2x．

∵AE∥OC，

∴∠4+∠5+∠6=180°，即：x+2x+2x=180°，

∴x=36°．

∴∠ODC=36°．

【考点】直线与圆的位置关系；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．