Question

如图，⊙M过坐标原点O，分别交两坐标轴于A（1，O），B（0，2）两点，直线CD交x轴于点C（6，0），交y轴于点D（0，3），过点O作直线OF，分别交⊙M于点E，交直线CD于点F．

（1）求证：∠CDO=∠BAO；

（2）求证：OE•OF=OA•OC；

（3）若OE=，试求点F的坐标．

 

Answer

(1)证明见解析

证明见解析

F的坐标为：（2，2）或（，）．

【解析】

试题分析：（1）由已知可得tan∠CDO=tan∠BAO所以∠CDO=∠BAO，

（2）连接AE，由圆周角相等则有∠AEO=∠ABO，由（1）则有∠AEO=∠OCD则有△OCF∽△OEA．再利用比例式即可证得．

（3）由（2）可求得OF的长度，因为点F要直线CD上，则可设F（x，y），则可得到关于x，y的方程组，解方程组即可得出点F的坐标

试题解析：（1）如图：∵C（6，0），D（0，3），

∴tan∠CDO==2，

∵A（1，O），B（0，2），

cot∠BAO==2，

∴∠CDO=∠BAO，

（2）如图，连接AE，

由（1）知∠CDO=∠BAO，

∴∠OCD=∠OBA，

∵∠OBA=∠OEA，

∴∠OCD=∠OEA，

∴△OCF∽△OEA，

∴

∴OE•OF=OA•OC；

（3）由（2）得OE•OF=OA•OC，

∵OA=1，0C=6，OE=，

∴OF=

设F（x，y）

∴x2+y2=8，

∵直线CD的函数式为：y=﹣x+3

∴组成的方程组为，

解得或

∴F的坐标为：（2，2）或（，）．

考点：1、三角函数；2、圆周角定理；3、相似；4、方程组