Question

如图，已知直线AB分别交x轴、y轴于点A（﹣4，0）、B（0，3），点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线AB向点B移动，同时，将直线以每秒0．6个单位的速度向上平移，分别交AO、BO于点C、D，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．

（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；

（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？且指出此时以点D为圆心，以DO长为半径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）当t=秒时，四边形ACDP为菱形，以点D为圆心，以DO长为半径的圆与直线AB相切．

【解析】

试题分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，由待定系数法就可以求出直线AB的解析式，再由点的坐标求出AO，BO的值，由勾股定理就可以得出AB的值，求出sin∠BAO的值，作PE⊥AO，表示出PE的值，得出PE=DO，就可以得出结论．

（2）由三角函数值表示CO的值，由菱形的性质可以求出菱形的边长，作DF⊥AB于F由三角函数值就可以求出DO，DF的值，进而得出结论．

试题解析：【解析】
（1）证明：设直线AB的解析式为y=kx+b，由题意，得

，解得：．

∴直线AB的解析式为．

∴直线AB∥直线．

∵A（﹣4，0）、B（0，3），∴OA=4，OB=3．

在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=5．∴sin∠BAO=，tan∠DCO=．

如答图，过点P作PE⊥AO于点E，∴∠PEA=∠PEO=90°．

∵AP=t，∴PE=0．6t．

∵OD=0．6t，∴PE=OD．

∵∠BOC=90°，∴∠PEA=∠BOC．∴PE∥DO．

∴四边形PEOD是平行四边形．∴PD∥AO．

∵AB∥CD，∴四边形ACDP总是平行四边形．

（2）当t=秒时，四边形ACDP为菱形，此时以点D为圆心，以DO长为半径的圆与直线AB相切，理由如下：

∵AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO．∴tan∠DCO=tan∠BAO=0．75．

∵DO=0．6t，∴CO=0．8t．∴AC=4﹣0．8t．

若四边形ACDP为菱形，则AP=AC，∴t=4﹣0．8t，解得t=．

∴当t=秒时，四边形ACDP为菱形．∴DO=，AC=．

∵PD∥AC，∴∠BPD=∠BAO．∴sin∠BPD=sin∠BAO=．

如答图，过点D作DF⊥AB于F．

∴∠DFP=90°．∴DF=．∴DF=DO．

∴以点D为圆心，以DO长为半径的圆与直线AB相切．

考点：1．一次函数综合题；2．线动平移问题；3．待定系数法的应用；4．直线上点的坐标与方程的关系；5．勾股定理；6．锐角三角函数定义；7．平行四边形的判定和性质；8．菱形的性质；9．直线与圆的位置关系．