Question

△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，

（1）求证：△BDF∽△CEF；

（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值；

（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF=，求此圆直径．

Answer

(1)证明见解析

(2)S与m之间的函数关系为：S═﹣（m﹣2）2+3（其中0＜m＜4）．当m=2时，S取到最大值，最大值为3

(3)此圆直径长为．

【解析】

试题分析：（1）由已知可知∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，所以得证．

（2）四边形ADFE面积S可以看成△ADF与△AEF的面积之和，这两个三角形均为直角三角形，在△BDF与△CEF中，由三角函数可以用m表示出BD、DF、CE、EF的长，进而可得AD、AE的长，从而可以用含m的代数式表示S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题．

（3）由已知易知AF就是圆的直径，利用圆周角定理将∠EDF转化为∠EAF．在△AFC中，知道tan∠EAF、∠C、AC，通过解直角三角形就可求出AF长．

试题解析：（1）:∵DF⊥AB，EF⊥AC，

∴∠BDF=∠CEF=90°．

∵△ABC为等边三角形，

∴∠B=∠C=60°．

∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，

∴△BDF∽△CEF．

（2）∵∠BDF=90°，∠B=60°，

∴sin60°==，cos60°==．

∵BF=m，

∴DF=m，BD=．

∵AB=4，

∴AD=4﹣．

∴S△ADF=AD•DF

=×（4﹣）×m

=﹣m2+m．

同理：S△AEF=AE•EF

=×（4﹣）×（4﹣m）

=﹣m2+2．

∴S=S△ADF+S△AEF

=﹣m2+m+2

=﹣（m2﹣4m﹣8）

=﹣（m﹣2）2+3．其中0＜m＜4．

∵﹣＜0，0＜2＜4，

∴当m=2时，S取最大值，最大值为3．

∴S与m之间的函数关系为：

S═﹣（m﹣2）2+3（其中0＜m＜4）．

当m=2时，S取到最大值，最大值为3．

（3）如图2，

∵A、D、F、E四点共圆，

∴∠EDF=∠EAF．

∵∠ADF=∠AEF=90°，

∴AF是此圆的直径．

∵tan∠EDF=，

∴tan∠EAF=．

∴=．

∵∠C=60°，

∴=tan60°=．

设EC=x，则EF=x，EA=2x．

∵AC=a，

∴2x+x=a．

∴x=．

∴EF=，AE=．

∵∠AEF=90°，

∴AF==．

∴此圆直径长为．

考点：1、相似三角形；2、二次函数的最值；3、三角函数；4、解直角三角形