Question

已知抛物线y=x²﹣（k+2）x+和直线y=（k+1）x+（k+1）²．

（1）求证：无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；

（2）抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x₁、x₂、x₃，求x₁•x₂•x₃的最大值；

（3）如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且CA•GE=CG•AB，求抛物线的解析式．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）y=x2﹣4x+3．

【解析】

试题分析：（1）由判别式△=（k+2）2﹣4×1×=k2﹣k+2=（k﹣）2+＞0，即可证得无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；

（2）由抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3，可得x1•x2=，x3=﹣（k+1），继而可求得答案；

（3）由CA•GE=CG•AB，易得△CAG∽△CBE，继而可证得△OAD∽△OBE，则可得，又由抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，可得OA•OB=，OD=，OE=（k+1）2，继而求得点B的坐标为（0，k+1），代入解析式即可求得答案．

试题解析：（1）证明：∵△=（k+2）2﹣4×1×=k2﹣k+2=（k﹣）2+，

∵（k﹣）2≥0，

∴△＞0，

∴无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；

（2）【解析】
∵抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3，

∴x1•x2=，

令0=（k+1）x+（k+1）2，

解得：x=﹣（k+1），

即x3=﹣（k+1），

∴x1•x2•x3=﹣（k+1）•=﹣（k+）2+，

∴x1•x2•x3的最大值为；

（3）【解析】
∵CA•GE=CG•AB，

∴，

∵∠ACG=∠BCE，

∴△CAG∽△CBE，

∴∠CAG=∠CBE，

∵∠AOD=∠BOE，

∴△OAD∽△OBE，

∴，

∵抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，

∴OA•OB=，OD=，OE=（k+1）2，

∴OA•OB=OD，

∴，

∴OB2=OE，

∴OB=k+1，

∴点B（k+1，0），

将点B代入抛物线y=x2﹣（k+2）x+得：（k+1）2﹣（k+2）（k+1）﹣=0，

解得：k=2，

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3．

考点：二次函数综合题