Question

如图，已知二次函数的图象过点O（0，0），A（4，0），B（2，﹣），M是OA的中点．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）设P是抛物线上的一点，过P作x轴的平行线与抛物线交于另一点Q，要使四边形PQAM是菱形，求P点的坐标；

（3）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得曲线OB′A（B′为B关于x轴的对称点），在原抛物线x轴的上方部分取一点C，连接CM，CM与翻折后的曲线OB′A交于点D．若△CDA的面积是△MDA面积的2倍，这样的点C是否存在？若存在求出C点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

(1) y=x2﹣x．(2) P（1，﹣）．(3) 点C的坐标为（2+2，）或（2﹣2，）．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式；

（2）由四边形PQAM是菱形，可知PQ=2且PQ∥x轴，因此点P、Q关于对称轴x=2对称，可得点P横坐标为1，从而求出点P的坐标；

（3）假设存在满足条件的点C．由△CDA的面积是△MDA面积的2倍，可得点C纵坐标是点D纵坐标的3倍，由此列方程求出点C的坐标．

试题解析：（1）∵抛物线过原点，∴设其解析式为：y=ax2+bx．

∵抛物线经过点A（4，0），B（2，﹣），

∴，解得，

∴二次函数解析式为：y=x2﹣x．

（2）∵y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣，

∴抛物线对称轴为直线：x=2．

∵四边形PQAM是菱形，

∴PQ=MA=2，PQ∥x轴．

∴点P、Q关于对称轴x=2对称，

∴点P横坐标为1．

当x=1时，y=﹣=﹣．

∴P（1，﹣）．

（3）依题意，翻折之后的抛物线解析式为：y=﹣x2+x．

假设存在这样的点C，

∵△CDA的面积是△MDA面积的2倍，

∴CD=2MD，∴CM=3MD．

如图所示，分别过点D、C作x轴的垂线，垂足分别为点E、点F，则有DE∥CF．

∴，

∴CF=3DE，MF=3ME．

设C（x，x2﹣x），

则MF=x﹣2，ME=MF=（x﹣2），OE=ME+OM=x+

∴D（x+，﹣（x+）2+（x+））．

∵CF=3DE，

∴x2﹣x=3[﹣（x+）2+（x+）]，

整理得：x2﹣4x﹣8=0，

解得：x1=2+2，x2=2﹣2．

∴y1=，y2=，

∴存在满足条件的点C，点C的坐标为（2+2，）或（2﹣2，）．

考点：二次函数综合题．