Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP=OB=t， 0＜t＜4，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD；过点C、D依次向x轴、y轴作垂线，垂足为M，N，设过O，C两点的抛物线为y=ax²+bx+c．

（1）填空：△AOB≌△        ≌△BMC（不需证明）；用含t的代数式表示A点纵坐标：A（0，        ；

（2）求点C的坐标，并用含a，t的代数式表示b；

（3）当t=1时，连接OD，若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O，求a的取值范围；

（4）当抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点随着t的增大向上移动时，求t的取值范围．

Answer

（1）DNA或△DPA；；（2）C（4，t），；（3）a＞0或a＜或＜a＜0；（4）

0＜t≤．

【解析】

试题分析：（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得：△AOB≌△DNA或DPA≌△BMC；根据图中相关线段间的和差关系来求点A的坐标：

∵∠DNA=∠AOB=90°，∴∠NAD=∠OBA（同角的余角相等）．

在△AOB与△DNA中，∵，∴△AOB≌△DNA（SAS）.

同理△DNA≌△BMC.

∵点P（0，4），AP=t，∴．

（2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等易推知：OM=OB+BM=t+=4，则C（4，t）．把点O、C的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c可以求得确.

（3）利用待定系数法求得直线OD的解析式．与抛物线联立方程组，解得x=0或．

对于抛物线的开口方向进行分类讨论，即a＞0和a＜0两种情况下的a的取值范围.

（4）根据抛物线的解析式得到顶点坐标是．结合已知条件求得a=，故顶点坐标为．由抛物线的性质知：只与顶点坐标有关，故t的取值范围为：0＜t≤．

试题解析：【解析】
（1）DNA或△DPA；.

（2）由题意知，NA=OB=t，则OA= ．

∵△AOB≌△BMC，∴CM=OB=t. ∴OM=OB+BM=t+=4. ∴C（4，t）．

又抛物线y=ax2+bx+c过点O、C，

∴，解得.

（3）当t=1时，抛物线为，NA=OB=1，OA=3．

∵△AOB≌△DNA，∴DN=OA=3.

∵D（3，4），∴直线OD为：．

联立方程组，得，消去y，得，

解得，x=0或.

所以，抛物线与直线OD总有两个交点．

讨论：①当a＞0时，＞3，只有交点O，所以a＞0符合题意；

②当a＜0时，若＞3，则a＜；

若＜0，则得a＞．∴＜a＜0．

综上所述，a的取值范围是a＞0或a＜或＜a＜0．

（4）∵抛物线为，∴顶点坐标是．

又∵对称轴是直线x=，∴a=.

∴顶点坐标为：，即．

∵抛物线开口向上，且随着t的增大，抛物线的顶点向上移动，

∴只与顶点坐标有关，∴t的取值范围为：0＜t≤．

考点：1.二次函数综合题；2.线动平移问题；3.全等三角形的判定和性质；4.待定系数法的应用；5.曲线上点的坐标与方程的关系；6.二次函数的性质；7.平移的性质；8.分类思想的应用．