Question

在矩形ABCD中，，点G，H分别在边AB，DC上，且HA=HG，点E为AB边上的一个动点，连接HE，把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE．

（1）如图1，当DH=DA时，

①填空：∠HGA=        度；

②若EF∥HG，求∠AHE的度数，并求此时a的最小值；

（2）如图3，∠AEH=60°，EG=2BG，连接FG，交边FG，交边DC于点P，且FG⊥AB，G为垂足，求a的值．

Answer

（1）①45；②当∠AHE为锐角时，∠AHE=22.5°时，a的最小值是２；当∠AHE为钝角时，∠AHE=112.5°时，a的最小值是；（2）.

【解析】

试题分析：（1）①根据矩形的性质和已知条件得出∠HAE=45°，再根据HA=HG，得出∠HAE=∠HGA，从而得出答案解决：

∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADH=90°．

∵DH=DA，∴∠DAH=∠DHA=45°．∴∠HAE=45°．

∵HA=HG，∴∠HAE=∠HGA=45°

②分∠AHE为锐角和钝角两种情况讨论即可.

（2）过点H作HQ⊥AB于Q，根据矩形的性质得出∠D=∠DAQ=∠AQH=90°，得出四边形DAQH为矩形，设AD=x，GB=y，则HQ=x，EG=2y，由折叠的性质可知∠AEH=∠FEH=60°，得出∠FEG=60°，在Rt△EFG中，根据特殊角的三角函数值求出EG和EQ的值，再由折叠的性质得出AE=EF，求出y关于x的表达式，从而求出AB=2AQ+GB，即可根据比值消去参数x得出a的值．

试题解析：【解析】
（1）①45．

②分两种情况讨论：

第一种情况：如答图１，∠AHE为锐角时，

∵∠HAG=∠HGA=45°，∴∠AHG=90°．

由折叠可知：∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE，

∵EF∥HG，∴∠FHG=∠F=45°．

∴∠AHF=∠AHG∠FHG=45°，即∠AHE+∠FHE=45°．

∴∠AHE=22.5°．

此时，当B与G重合时，a的值最小，最小值是2．

第二种情况：如答图２，∠AHE为钝角时，

∵EF∥HG，∴∠HGA=∠FEA=45°，即∠AEH+∠FEH=45°．

由折叠可知：∠AEH=∠FEH，∴∠AEH=∠FEH=22.5°．

∵EF∥HG，∴∠GHE=∠FEH=22.5°．

∴∠AHE=90°+22.5°=112.5°．

此时，当B与E重合时，a的值最小，

设DH=DA=x，则AH=CH=x，

在Rt△AHG中，∠AHG=90°，由勾股定理得：AG=AH=2x，

∵∠AEH=∠FEH，∠GHE=∠FEH，∴∠AEH=∠GHE．∴GH=GE=x．

∴AB=AE=2x+x．

∴a的最小值是．

综上所述，当∠AHE为锐角时，∠AHE=22.5°时，a的最小值是２；当∠AHE为钝角时，∠AHE=112.5°时，a的最小值是．

（2）如答图３：过点H作HQ⊥AB于Q，则∠AQH=∠GOH=90°，

在矩形ABCD中，∠D=∠DAQ=90°，

∴∠D=∠DAQ=∠AQH=90°．

∴四边形DAQH为矩形．∴AD=HQ．

设AD=x，GB=y，则HQ=x，EG=2y，

由折叠可知：∠AEH=∠FEH=60°，∴∠FEG=60°．

在Rt△EFG中，EG=EF×cos60°＝4y×，

在Rt△HQE中，，

∴．

∵HA=HG，HQ⊥AB，∴AQ=GQ=．

∴AE=AQ+QE= ．

由折叠可知：AE=EF，即，即．

∴AB=2AQ+GB=．

∴．

考点：1.四边形综合题；2.单动点和折叠问题；3.矩形的判定和性质；4.等腰直角三角形的判定和性质；5.折叠对称的性质；6.勾股定理；7. 锐角三角函数定义；8.特殊角的三角函数值；9.分类思想和消参的待定系数法应用．