Question

已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）

（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；

（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；

（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）b=2+a或2﹣a；（3）当或或或时，以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似．

【解析】

试题分析：（1）连接PM，PN，运用△PMF≌△PNE证明.

（2）分两种情况①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，0＜t≤1时，点E在y轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解.

（3）分两种情况，当1＜t＜2时，当t＞2时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出时间t：

如答图3，（Ⅰ）当1＜t＜2时，

∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0）.

∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q（1﹣t，0）.∴OQ=1﹣t.

由（1）得△PMF≌△PNE ，∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1.

当△OEQ∽△MPF时，，即，

解得，（舍去）.

当△OEQ∽△MFP时，，即，解得，（舍去）.

（Ⅱ）如答图4，当t＞2时，

∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0）

∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q（1﹣t，0）∴OQ=t﹣1，

由（1）得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t.∴OE=t﹣1.

当△OEQ∽△MPF时，，即，无解.

当△OEQ∽△MFP时，∴，即，解得，.

综上所述，当或或或时，以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似．

试题解析：【解析】
（1）证明：如答图1，连接PM，PN，

∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，

∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN

∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°.

∵PE⊥PF，∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE.

在△PMF和△PNE中，，

∴△PMF≌△PNE（ASA）.∴PE=PF.

（2）①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如答图1，

由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1.

∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1，

∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a.

②0＜t≤1时，如答图2，点E在y轴的正半轴或原点上，

同理可证△PMF≌△PNE，

∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON﹣NE=1﹣t，

∴b+a=1+t+1﹣t=2，

∴b=2﹣a，

（3）当或或或时，以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似．

考点：1.单动点和轴对称问题；2.切线的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.相似三角形的判定和性质；5.分类思想和方程思想的应用.