Question

如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x²+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD．

（1）若点A的坐标是（﹣4，4）

①求b，c的值；

②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；

（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）①；②四边形AOBD是平行四边形，理由见解析；（2）存在，点A的坐标可以是（，2）或（，2）.

【解析】

试题分析：（1）①将抛物线上的点的坐标代入抛物线即可求出b、c的值.

②求证AD=BO和AD∥BO即可判定四边形为平行四边形.

（2）要使四边形AOBD是矩形，则需∠AOB=∠BCO=90°，

∵∠ABO=∠OBC，∴△ABO∽△OBC. ∴，

又∵AB=AC+BC=3BC，∴.

∴在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：OC.

∴.

∵C点是抛物线与y轴交点，∴OC=c.

∴A点坐标为（，c），∴顶点横坐标.

将A点代入y=﹣x2+bx+c可得恒成立

∴横坐标为，纵坐标为c即可，令c=2，

∴A点坐标可以为（，2）或（，2）.

试题解析：【解析】
（1）①∵AC∥x轴，A点坐标为（﹣4，4）．∴点C的坐标是（0，4）

把A、C代入y═﹣x2+bx+c得，得，解得.

②四边形AOBD是平行四边形，理由如下：

由①得抛物线的解析式为，

∵，∴顶点D的坐标为（﹣2，8）.

如答图，过点D点作DE⊥AB于点E，则DE=OC=4，AE=2，

∵AC=4，BC=AC，∴BC=AC=2. ∴AE=BC．

∵AC∥x轴，∴∠AED=∠BCO=90°.

∴△AED≌△BCO，∴AD=BO，∠DAE=∠BCO. ∴AD∥BO.∴四边形AOBD是平行四边形．

（2）存在，点A的坐标可以是（，2）或（，2）.

考点：1.二次函数综合题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.二次函数的性质；4.平行四边形的判定和性质；5.全等三角形的判定和性质；6.相似三角形的判定和性质；7.勾股定理；8.矩形的性质．