Question

如图，已知正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O的切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、BN．记△MNO、△AOM、△DMN的面积分别为S₁、S₂、S₃，则下列结论不一定成立的是（   ）

A．S₁＞S₂+S₃      B．△AOM∽△DMN      C．∠MBN=45°      D．MN=AM+CN

Answer

A．

【解析】

试题分析：（1）如答图1，过点M作MP∥AO交ON于点P，

∵点O是线段AE上的一个动点，

当AM=MD时，S梯形ONDA=（OA+DN）•ADS△MNO=MP•AD，

∵（OA+DN）=MP，∴S△MNO=S梯形ONDA，

∴S1=S2+S3，∴不一定有S1＞S2+S3. 故A不一定成立.

（2）∵MN是⊙O的切线，∴OM⊥MN，

又∵四边形ABCD为正方形，

∴∠A=∠D=90°，∠AMO+∠DMN=90°，∠AMO+∠AOM=90°.∴∠AOM=∠DMN.

在△AMO和△DMN中，∵，∴△AMO∽△DMN．故B成立.

（3）如答图2，过点B作BP⊥MN于点P，

∵MN，BC是⊙O的切线，

∴∠PMB=∠MOB，∠CBM=∠MOB.

∵AD∥BC，∴∠CBM=∠AMB. ∴∠AMB=∠PMB.

在Rt△MAB和Rt△MPB中，∵，

∴Rt△MAB≌Rt△MPB（AAS）.∴AM=MP，∠ABM=∠MBP，BP=AB=BC.

在Rt△BPN和Rt△BCN中，，∴Rt△BPN≌Rt△BCN（HL）.

∴PN=CN，∠PBN=∠CBN. ∴∠MBN=∠MBP+∠PBN.

∴MN=MN+PN=AM+CN．故C，D成立.

综上所述，A不一定成立.

故选A．

考点：1.单动点问题；2.切线的性质3.正方形的性质；4.全等三角形的判定和性质；5.相似三角形的判定和性质．