Question

复习课中，教师给出关于x的函数（k是实数）.

教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.

学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：

①存在函数，其图像经过（1,0）点；

②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；

③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；

④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数；

教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由，最后简单写出解决问题时所用的数学方法.

Answer

①真，②假，③假，④真，理由和所用的数学方法见解析.

【解析】

试题分析：根据方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想对各结论进行判断.

试题解析：①真，②假，③假，④真.理由如下：

①将（1,0）代入，得，解得.

∴存在函数，其图像经过（1,0）点.

∴结论①为真.

②举反例如，当时，函数的图象与坐标轴只有两个不同的交点.∴结论②为假.

③∵当时，二次函数（k是实数）的对称轴为，

∴可举反例如，当时，二次函数为，

当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.

∴结论③为假.

④∵当时，二次函数的最值为，

∴当时，有最小值，最小值为负；当时，有最大值，最大值为正.

∴结论④为真.

解决问题时所用的数学方法有方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想

考点：1.曲线上点的坐标与方程的关系；2.二次函数的性质；3.方程思想、特殊元素法、反证思想和分类思想的应用.