Question

如图1，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．

（1）求△OPC的最大面积；

（2）求∠OCP的最大度数；

（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．

Answer

【解析】

试题分析：（1）在△OPC中，底边OC长度固定，因此要想△OPC的面积最大，则要OC边上的高最大；由图形可知，当OP⊥OC时高最大；

（2）要想∠OCP的度数最大，由图形可知当PC与⊙O相切才能满足，根据切线的性质即可求得；

（3）连接AP，BP通过△ODB≌△BPC可求得DP⊥PC，从而求得PC是⊙O的切线

试题解析：（1）∵AB=4，

∴OB=2，OC=OB+BC=4．

在△OPC中，设OC边上的高为h，

∵S△OPC=OC•h=2h，

∴当h最大时，S△OPC取得最大值．

观察图形，当OP⊥OC时，h最大，如答图1所示：

此时h=半径=2，S△OPC=2×2=4．

∴△OPC的最大面积为4．

（2）当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如答图2所示：

∵tan∠OCP=，

∴∠OCP=30°

∴∠OCP的最大度数为30°．

（3）证明：如答图3，连接AP，BP．

∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD，

∵∠AOP=∠DOB

∴AP=BD，

∵CP=DB，

∴AP=CP，

∴∠A=∠C

∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD∠C，

在△ODB与△BPC中

，

∴△ODB≌△BPC（SAS），

∴∠D=∠BPC，

∵PD是直径，

∴∠DBP=90°，

∴∠D+∠BPD=90°，

∴∠BPC+∠BPD=90°，

∴DP⊥PC，

∵DP经过圆心，

∴PC是⊙O的切线．

考点：1、最值问题；2、切线的性质与判定；3、圆周角定理