Question

已知二次函数，其图像抛物线交轴的于点A（1，0）、B（3，0），交y轴于点C.直线过点C，且交抛物线于另一点E（点E不与点A、B重合）.

(1)求此二次函数关系式；

(2)若直线经过抛物线顶点D，交轴于点F，且∥，则以点C、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由.

(3)若过点A作AG⊥轴，交直线于点G，连OG、BE，试证明OG∥BE.

Answer

（1）此二次函数关系式为：y=x2-4x+3；

（2）以点C、D、E、F为顶点的四边形能成为平行四边形；点E的坐标为（2+，2），（2-，2），（2+，4），（2-，4）．

（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）由二次函数y=x2+bx+c，其图象抛物线交x轴于点A（1，0），B（3，0），直接利用待定系数法求解即可；

（2）以点C、D、E、F为顶点的四边形构成平行四边形，有两种情形，分类讨论即可；

（3）先过点E作EH⊥x轴于点H，设直线CE的解析式为：y=kx+3，然后分别求得点G与E的坐标，即可证得△OAG∽△BHE，则可得∠AOG=∠HBE，即可．

试题解析：（1）∵二次函数y=x2+bx+c，图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），

∴，

解得：，

∴此二次函数关系式为：y=x2-4x+3；

（2）当CD为平行四边形对角线时，过点D作DM⊥AB于点M，过点E作EN⊥OC于点N，

∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，

∴点D（2，-1），点C（0，3），

∴DM=1，

∵l1∥l，

∴当CE=DF时，四边形CEDF是平行四边形，

∴∠ECF+∠CFD=180°，

∵∠OCF+∠OFC=90°，

∴∠ECN+∠DFM=90°，

∵∠DFM+∠FDM=90°，

∴∠ECN=∠FDM，

在△ECN和△FDM中，

，

∴△ECN≌△FDM（AAS），

∴CN=DM=1，

∴ON=OC-CN=3-1=2，

当y=2时，x2-4x+3=2，

解得：x=2±，

∴点E（2+，2）或（2-，2）；

当CD为平行四边形一条边时，

则EF∥CD，且EF=CD．

过点D作DM⊥y轴于点M，则DM=2，OM=1，CM=OM+OC=4；

过点E作EN⊥x轴于点N．

易证△CDM≌△EFN，∴EN=CM=4．

∴x2-4x+3=4，

解得：x=2±．

综上所述，以点C、D、E、F为顶点的四边形能成为平行四边形；点E的坐标为（2+，2），（2-，2），（2+，4），（2-，4）．

（3）如图，过点E作EH⊥x轴于点H，

设直线CE的解析式为：y=kx+3，

∵A（1，0），AG⊥x轴，

∴点G（1，k+3），

即OA=1，AG=k+3，

∵E是直线与抛物线的交点，

∴，

解得：，

∴点E（k+4，（k+1）（k+3）），

∴BH=OH-OB=k+3，EH=（k+1）（k+3），

∴，

∵∠OAG=∠BHE=90°，

∴△OAG∽△BHE，

∴∠AOG=∠HBE，

∴OG∥BE．

考点：二次函数综合题．