Question

如图，二次函数（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．

（1）用含m的代数式表示a；

（2）)求证：为定值；

（3）设该二次函数图象的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.

【解析】

试题分析：（1）将C点代入函数解析式即可求得.

（2）令y=0求A、B的坐标，再根据，CD∥AB，求点D的坐标，由△ADM∽△AEN,对应边成比例，将求的比转化成求比，结果不含m即为定值.

（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G..过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.

试题解析：【解析】
（1）将C（0，-3）代入函数表达式得，，∴.

（2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.

由解得x1=－m，x2=3m．∴A(－m，0)，B(3m，0).

∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，－3）．

∵AB平分∠DAE．∴∠DAM=∠EAN．

∵∠DMA=∠ENA=900，∴△ADM∽△AEN, ∴.

设点E的坐标为（x, ）,

∴,∴x=4m.

∴为定值.

（3）存在，

如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.

由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），

过点F作FH⊥x轴于点H，

在Rt△CGO和Rt△FGH中,

∵tan∠CGO＝, tan∠FGH＝, ∴=．∴OG=3m,

由勾股定理得，GF=，AD=

∴.

由（2）得，，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5．

∴以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.

考点：1.二次函数综合题；2.定值和直角三角形存在性问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.二次函数的性质；5.勾股定理和逆定理；6相似三角形的判定和性质；7.锐角三角函数定义.