Question

如图1，已知点A（2，0），B（0，4），∠AOB的平分线交AB于C，一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于Q，作P、Q关于直线OC的对称点M、N．设P运动的时间为t（0＜t＜2）秒．

（1）求C点的坐标，并直接写出点M、N的坐标（用含t的代数式表示）；

（2）设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S．

①试求S关于t的函数关系式；

②在图2的直角坐标系中，画出S关于t的函数图象，并回答：S是否有最大值？若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由．

Answer

（1）（，），P（0，2t），Q（t，0）；（2）①；②当t=1时，S有最大值，最大值为1．

【解析】

试题分析：（1）如答图1，作辅助线，由比例式求出点D的坐标；

（2）①所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论：答图2，答图3表示出运动过程中重叠部分（阴影）的变化，分别求解.

②画出函数图象，由两段抛物线构成．观察图象，可知当t=1时，S有最大值．

试题解析：【解析】
（1）如答图1，过点C作CF⊥x轴于点F，CE⊥y轴于点E，

由题意，易知四边形OECF为正方形，设正方形边长为x．

∵CE∥x轴，∴△BEC∽△BOA.∴，即，解得x=．

∴C点坐标为（，）.

∵PQ∥AB，∴，即.

∴OP=2OQ．

∵P（0，2t），∴Q（t，0）．

∵对称轴OC为第一象限的角平分线，∴对称点坐标为：M（2t，0），N（0，t）．

（2）①当0＜t≤1时，如答图2所示，点M在线段OA上，重叠部分面积为S△CMN．

S△CMN=S四边形CMON﹣S△OMN=（S△COM+S△CON）﹣S△OMN.

当1＜t＜2时，如答图3所示，点M在OA的延长线上，

设MN与AB交于点D，则重叠部分面积为S△CDN．

设直线MN的解析式为y=kx+b，

将M（2t，0）、N（0，t）代入得，解得.

∴直线MN的解析式为.

同理求得直线AB的解析式为：y=﹣2x+4．

联立与y=﹣2x+4，求得点D的横坐标为．

S△CDN=S△BDN﹣S△BCN=．

综上所述，S关于t的函数关系式为．

②画出函数图象，如答图4所示：

观察图象，可知当t=1时，S有最大值，最大值为1．

考点：1.双动点和轴对称问题；2.正方形的判定和性质；3.相似三角形的判定和性质；4.直线上点的坐标与方程的关系；5.待定系数法的应用；6.由实际问题列函数关系式；7.分类思想、数形结合思想和方程思想的应用.