Question

如图，二次函数y=ax²+bx（a＜0）的图象过坐标原点O，与x轴的负半轴交于点A，过A点的直线与y轴交于B，与二次函数的图象交于另一点C，且C点的横坐标为﹣1，AC：BC=3：1．

（1）求点A的坐标；

（2）设二次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E，若△FCD与△AED相似，求此二次函数的关系式．

Answer

（1）（﹣4，0）；（2）y=﹣x2﹣4x．

【解析】

试题分析：（1）过点C作CM∥OA交y轴于M，则△BCM∽△BAO，根据相似三角形对应边成比例得出，即OA=4CM=4，由此得出点A的坐标为（﹣4，0）.

（2）先将A（﹣4，0）代入y=ax2+bx，化简得出b=4a，即y=ax2+4ax，则顶点F（﹣2，﹣4a），设直线AB的解析式为y=kx+n，将A（﹣4，0）代入，化简得n=4k，即直线AB的解析式为y=kx+4k，则B点（0，4k），D（﹣2，2k），C（﹣1，3k）．由C（﹣1，3k）在抛物线y=ax2+4ax上，得出3k=a﹣4a，化简得到k=﹣a．再由△FCD与直角△AED相似，则△FCD是直角三角形，又∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，得出∠FCD=90°，△FCD∽△AED．再根据两点之间的距离公式得出FC2=CD2=1+a2，得出△FCD是等腰直角三角形，则△AED也是等腰直角三角形，所以∠DAE=45°，由三角形内角和定理求出∠OBA=45°，那么OB=OA=4，即4k=4，求出k=1，a=﹣1，进而得到此二次函数的关系式为y=﹣x2﹣4x．

试题解析：【解析】
（1）如答图，过点C作CM∥OA交y轴于M．

∵AC：BC=3：1，∴．

∵CM∥OA，∴△BCM∽△BAO.∴.

∵C点的横坐标为﹣1，∴CM=1.∴OA=4CM=4.

∴点A的坐标为（﹣4，0）.

（2）∵二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象过A点（﹣4，0），

∴16a﹣4b=0.∴b=4a.

∴y=ax2+4ax，对称轴为直线x=﹣2，F点坐标为（﹣2，﹣4a）．

设直线AB的解析式为y=kx+n，将A（﹣4，0）代入，得﹣4k+n=0，∴n=4k.

∴直线AB的解析式为y=kx+4k.

∴B点坐标为（0，4k），D点坐标为（﹣2，2k），C点坐标为（﹣1，3k）．

∵C（﹣1，3k）在抛物线y=ax2+4ax上，∴3k=a﹣4a，∴k=﹣a．

∵△AED中，∠AED=90°，

∴若△FCD与△AED相似，则△FCD是直角三角形.

∵∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，∴∠FCD=90°.

∴△FCD∽△AED．

∵F（﹣2，﹣4a），C（﹣1，3k），D（﹣2，2k），k=﹣a，

∴FC2=（﹣1+2）2+（3k+4a）2=1+a2，CD2=（﹣2+1）2+（2k﹣3k）2=1+a2.

∴FC=CD.∴△FCD是等腰直角三角形.∴△AED是等腰直角三角形.

∴∠DAE=45°.∴∠OBA=45°.∴OB=OA=4.

∴4k=4.∴k=1.∴a=﹣1.

∴此二次函数的关系式为y=﹣x2﹣4x．

考点：1.二次函数综合题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.待定系数法的应用；4.二次函数的性质；5.相似三角形的判定和性质；6.等腰直角三角形的判定和性质．