Question

如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数图象的两支上，且PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E、F．已知B（1，3）．

（1）k=        ；

（2）试说明AE=BF；

（3）当四边形ABCD的面积为时，求点P的坐标．

Answer

（1）3；（2）说明见解析；（3）（1，﹣2）．

【解析】

试题分析：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特，把B（1，3）代入得k=1×3=3.

（2）设A点坐标为（a，），易得D点坐标为（0，），P点坐标为（1，），C点坐标为（1，0），根据图形与坐标的关系得到PB=3﹣，PC=﹣，PA=1﹣a，PD=1，则可计算出，加上∠CPD=∠BPA，根据相似的判定得到△PCD∽△PBA，则∠PCD=∠PBA，于是判断CD∥BA，根据平行四边形的判定方法易得四边形BCDE、ADCF都是平行四边形，所以BE=CD，AF=CD，则BE=AF，于是有AE=BF.

（3）利用四边形ABCD的面积=S△PAB﹣S△PCD得到，整理得2a2+3a=0，然后解方程求出a的值，再写出P点坐标．

试题解析：【解析】
（1）3.

（2）由（1），反比例函数解析式为，

∵顶点A在反比例函数图象上，∴设A点坐标为（），

∵PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，

∴D点坐标为（0，），P点坐标为（1，），C点坐标为（1，0）.

∴PB=3﹣，PC=﹣，PA=1﹣a，PD=1.

∴，∴.

又∵∠CPD=∠BPA，∴△PCD∽△PBA. ∴∠PCD=∠PBA. ∴CD∥BA.

又∵BC∥DE，AD∥FC，∴四边形BCDE、ADCF都是平行四边形.

∴BE=CD，AF=CD. ∴BE=AF. ∴AF+EF=BE+EF，即AE=BF.

（3）∵四边形ABCD的面积=S△PAB﹣S△PCD，

∴.

整理得2a2+3a=0，解得a1=0（舍去），a2=﹣.

∴P点坐标为（1，﹣2）．

考点：1.反比例函数综合题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.相似三角形的判定和性质；4.平行四边形的判定和性质；5.转换思想和方程思想的应用．