Question

在平面直角坐标系中，点M（,），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M ，使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与轴，轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM.点P是上的动点.

（1）写出∠AMB的度数；

（2）点Q在射线OP上，且OP·OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交轴于点E.

①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；

②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S，求S与t的函数关系式及S的取值范围.

Answer

（1）90°；（2）①（5，0）；②S，5≤S≤10．

【解析】

试题分析：（1）首先过点M作MH⊥OD于点H，由点M（，），可得∠MOH=45°，OH=MH=，继而求得∠AOM=45°，又由OM=AM，可得△AOM是等腰直角三角形，继而可求得∠AMB的度数：

如答图3，过点M作MH⊥OD于点H，

∵点M（，），∴OH=MH=.∴∠MOD=45°.

∵∠AOD=90°，∴∠AOM=45°.

∵OA=OM，∴∠OAM=∠AOM=45°.∴∠AMO=90°.∴∠AMB=90°.

（2）①由OH=MH=，MH⊥OD，即可求得OD与OM的值，继而可得OB的长，又由动点P与点B重合时，OP•OQ=20，可求得OQ的长，继而求得答案.

②由OD=2，Q的纵坐标为t，即可得S=，然后分别从当动点P与B点重合时，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F点，与当动点P与A点重合时，Q点在y轴上，去分析求解即可求得答案．

试题解析：【解析】
（1）90°.

（2）①由题意，易知：OM=2，OD=2，∴OB=4.

当动点P与点B重合时，∵OP·OQ=20，∴OQ=5.

∵∠OQE=90°，∠POE=45°，∴OE=5.∴E点坐标为（5，0）.

②∵OD=2，Q的纵坐标为t，∴S=.

如答图1，当动点P与B点重合时，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F点，

∵OP=4，OP•OQ=20，∴OQ=5，

∵∠OFC=90°，∠QOD=45°，∴t=QF=.

此时S=.

如答图2，当动点P与A点重合时，Q点在y轴上，

∴OP=2.

∵OP•OQ=20，∴t=OQ=5.

此时S=.

∴S的取值范围为5≤S≤10．

考点：1.圆的综合题；2.单动点问题；3.等腰直角三角形的判定和性质；4.点的坐标；5.由实际问题列函数关系式；6.数形结合思想、分类思想和方程思想的应用．