Question

在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与轴交于点C，过动点H（0, ）作平行于轴的直线，直线与二次函数的图像相交于点D，E.

（1）写出点A,点B的坐标；

（2）若，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与轴相切时，求的值；

（3）直线上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（4，0）和（－1，0）；（2）；（3）存在，m=或或3或.

【解析】

试题分析：（1）A、B两点的纵坐标都为0，所以代入y=0，求解即可．

（2）由圆和抛物线性质易得圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处，则Q的横坐标为，可推出D、E两点的坐标分别为：，因为D、E都在抛物线上，代入一点即可得m．

（3）使得△ACF是等腰直角三角形，重点的需要明白有几种情形，分别以三边为等腰三角形的两腰或者底，则共有3种情形；而三种情形中F点在AC的左下或右上方又各存在2种情形，故共有6种情形．求解时．利用全等三角形知识易得m的值．

试题解析：【解析】
（1）当y=0时，有，解之得：，

∴A、B两点的坐标分别为（4，0）和（－1，0）.

（2）∵⊙Q与轴相切，且与交于D、E两点，

∴圆心O位于直线与抛物线对称轴的交点处，且⊙Q的半径为H点的纵坐标（）.

∵抛物线的对称轴为，

∴D、E两点的坐标分别为：且均在二次函数的图像上.

∵，解得或（不合题意，舍去）.

（3）存在.

①当∠ACF=90°，AC=FC时，如答图1，

过点F作FG⊥y轴于G，∴∠AOC=∠CGF=90°.

∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，∴∠ACO=∠CFG.

∴△ACO≌△∠CFG，∴CG=AO=4.

∵CO=2，

∴或=OG=2+4=6.

②当∠CAF=90°，AC=AF时，如答图2，

过点F作FP⊥x轴于P，∴∠AOC=∠APF=90°.

∵∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，∴∠ACO=∠FAP.

∴△ACO≌△∠FAP，∴FP =AO=4.

∴或=FP =4.

③当∠AFC=90°，FA=FC时，如答图3，

则F点一定在AC的中垂线上，此时存在两个点分别记为F，F′，

分别过F，F′两点作x轴、y轴的垂线，分别交于E，G，D，H．

∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°，∴∠DFC=∠EFA.

∵∠CDF=∠AEF，CF=AF，∴△CDF≌△AEF.

∴CD=AE，DF=EF.∴四边形OEFD为正方形.

∴OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD.

∴4=2+2•CD.∴CD=1，∴m=OC+CD=2+1=3．

∵∠HF′C+∠CGF′=∠CGF′+∠GF′A，∴∠HF′C=∠GF′A.

∵∠HF′C=∠GF′A，CF′=AF′.∴△HF′C≌△GF′A.∴HF′=GF′，CH=AG.

∴四边形OHF′G为正方形.

∴.∴OH=1.

∴m=．

∵，∴y的最大值为.

∵直线l与抛物线有两个交点，∴m＜∴m可取值为m=或或3或.

综上所述，m的值为m=或或3或.

考点：1.二次函数综合题； 2.单动点问题；3.等腰直角三角形存在性问题；4.二次函数的性质；5.曲线上点的坐标与方程的关系；6.直线与圆的位置关系；7.全等三角形的判定和性质；8.正方形的判定和性质；9.分类思想的应用．