Question

如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为，OP=1，求BC的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）2．

【解析】

试题分析：（1）由垂直定义得∠A+∠APO=90°，根据等腰三角形的性质由CP=CB得∠CBP=∠CPB，根据对顶角相等得∠CPB=∠APO，即∠APO=∠CBP，而∠A=∠OBA，得∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，然后根据切线的判定定理得到BC是⊙O的切线.

（2）设BC=x，则PC=x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得到（）2+x2=（x+1）2，然后解方程即可．

试题解析：【解析】
（1）证明：如答图，连接OB，

∵OP⊥OA，∴∠AOP=90°.∴∠A+∠APO=90°.

∵CP=CB，∴∠CBP=∠CPB.

∵∠CPB=∠APO，∴∠APO=∠CBP.

∵OA=OB，∴∠A=∠OBA.∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°.∴OB⊥BC.∴BC是⊙O的切线.

（2）设BC=x，则PC=x，

在Rt△OBC中，OB=，OC=CP+OP=x+1，

∵OB2+BC2=OC2，∴（）2+x2=（x+1）2，解得x=2.

∴BC的长为2．

考点：1.等腰三角形的性质；2.切线的判定；3.勾股定理．