Question

【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．

【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．

【深入探究】

第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．

（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据        ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．

（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．

第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．

（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）

（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若        ，则△ABC≌△DEF．

Answer

（1）HL；（2）证明见解析；（3）作图见解析；（4）∠B≥∠A．

【解析】

试题分析：（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明.

（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等.

（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等.

（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．

试题解析：

（2）如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于H，

∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，∴180°-∠B=180°-∠E，即∠CBG=∠FEH.

在△CBG和△FEH中，，∴△CBG≌△FEH（AAS）.∴CG=FH.

在Rt△ACG和Rt△DFH中，，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL）.∴∠A=∠D.

在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）.

（3）如图，△DEF和△ABC不全等.

（4）若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．

考点：1.探究型问题；2.全等三角形的判定和性质；3.作图—应用与设计作图．