Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4 cm ，BC=3 cm，⊙O为△ABC的内切圆.

（1）求⊙O的半径；

（2）点P从点B沿边BA向点A以点1cm/s 的速度匀速运动，以点P为圆心，PB长为半径作圆.设点P运动的时间为 t s.若⊙P与⊙O相切，求t的值.

Answer

（1）1 cm；（2）或2.

【解析】

试题分析：（1）设⊙O与AB，BC，CA的切点分别为D，E，F，连接OD，OE，OF，根据切线的性质证明四边形CEOF是正方形，由勾股定理求AB的长，把AD，BD用半径r的代数式表示，从而根据列方程求解即可.

（2）为⊙P与⊙O外切和⊙P与⊙O内切两种情况讨论即可.

试题解析：（1）如图，设⊙O与AB，BC，CA的切点分别为D，E，F，连接OD，OE，OF，

则AD=AF，BD=BE，CE=CF.

∵⊙O为△ABC的内切圆，∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°.

又∵∠C=90°，∴四边形CEOF是矩形.

又∵OE=OF，∴四边形CEOF是正方形.

设⊙O的半径为r cm，则FC=EC=OE= r cm，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4 cm ，BC=3 cm，∴.

∵，

∴，解得r=1.

∴⊙O的半径为1 cm.

（2）如图，过点P作PG⊥BC于点G，

∵∠PGB=∠C=90°，∴PG∥AC.∴△PBG∽△ABC.∴.

又∵BP=t，∴.

若⊙P与⊙O相切，，则可分为⊙P与⊙O外切和⊙P与⊙O内切两种情况：

①如图，当⊙P与⊙O外切时，连接OP，则OP=1+t.

过点P作PH⊥OE于点H，

∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°，∴四边形PHEG是矩形.∴HE=PG，PH=GE.

∴.

在Rt△OPH中，由勾股定理，得，解得.

②如图，当⊙P与⊙O内切时，连接OP，则OP=.

过点O作OM⊥PG于点M，

∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°，∴四边形OEGM是矩形.∴MG=OE，OM=EG.

∴.

在Rt△OPM中，由勾股定理，得，解得.

综上所述，当⊙P与⊙O相切时，或2.

考点：1.单动点和面动问题；2.直线与圆相切的性质；3.矩形、正方形的判定和性质；4.勾股定理；5.相似三角形的判定和性质；6.方程思想和分类思想的应用.