Question

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点．

（1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；

（2）求证：2AD•NF=DE•DM．

Answer

（1）△DNF的周长3+；sin∠DAF=；

（2）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）由点E、F分别是BC、CD的中点，可求出EC=DF=2，再由勾股定理列式求出DE，然后利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出NF，再求出DN，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解；利用勾股定理列式求出AF，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解；

（2）利用“边角边”证明△ADF和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=DE，全等三角形对应角相等可得∠DAF=∠CDE，再求出AF⊥DE，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF=EC=2NF，然后根据∠DAF和∠CDE的余弦列式整理即可得证．

试题解析：（1）∵点E、F分别是BC、CD的中点，

∴EC=DF=×4=2，

由勾股定理得，DE=，

∵点F是CD的中点，点N为DE的中点，

∴DN=DE==，

NF=EC=×2=1，

∴△DNF的周长=1++2=3+；

在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF=，

所以，sin∠DAF=；

（2）在△ADF和△DCE中，，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，

∵∠DAF+∠AFD=90°，

∴∠CDE+∠AFD=90°，

∴AF⊥DE，

∵点E、F分别是BC、CD的中点，

∴NF是△CDE的中位线，

∴DF=EC=2NF，

∵cos∠DAF=，

cos∠CDE=，

∴，

∴2AD•NF=DE•DM．

考点：1、正方形的性质；2、勾股定理；3、相似三角形的判定与性质；4、解直角三角形