Question

如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G。

（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：AG²=AF·AB；

（3）若⊙O的直径为10，AC=2，AB=4，求△AFG的面积.

Answer

（1）PA与⊙O相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3.

【解析】

试题分析：（1）连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°，由圆周角定理，证得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切．

（2）连接BG，易证得△AFG∽△AGB，由相似三角形的对应边成比例，证得结论.

（3）连接BD，由AG2=AF•AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案．

试题解析：【解析】
（1）PA与⊙O相切．理由如下：

如答图1，连接CD，

∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°.

∴∠D+∠CAD=90°.

∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，∴∠PAC=∠D.

∴∠PAC+∠CAD=90°，即DA⊥PA.

∵点A在圆上，

∴PA与⊙O相切．

（2）证明：如答图2，连接BG，

∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，∴.∴∠AGF=∠ABG.

∵∠GAF=∠BAG，∴△AGF∽△ABG.

∴AG：AB=AF：AG. ∴AG2=AF•AB.

（3）如答图3，连接BD，

∵AD是直径，∴∠ABD=90°.

∵AG2=AF•AB，AG=AC=2，AB=4，∴AF=.

∵CG⊥AD，∴∠AEF=∠ABD=90°.

∵∠EAF=∠BAD，∴△AEF∽△ABD. ∴，即，解得：AE=2.

∴.

∵，∴.

∴．

考点：1. 圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系；3. 相切的判定；4.垂径定理；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理；7.三角形的面积.