Question

在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A（﹣3，0），B（0，﹣3）两点，二次函数y=x²+mx+n的图象经过点A．

（1）求一次函数y=kx+b的解析式；

（2）若二次函数y=x²+mx+n图象的顶点在直线AB上，求m，n的值；

（3）当﹣3≤x≤0时，二次函数y=x²+mx+n的最小值为﹣4，求m，n的值．

Answer

（1）y=﹣x﹣3；（2）或；（3）m=2，n=﹣3．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求出解析式.

（2）根据二次函数的性质求出二次函数y=x2+mx+n图象的顶点，利用直线AB列出式子，再与点A在二次函数上得到的式子组成方程组求得m，n的值.

（3）分对称轴﹣3＜＜0，＞0，=0三种情况，结合二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A得出的式子9﹣3m+n=0，求出m，n，验证是否符合题意．

试题解析：【解析】
（1）将A（﹣3，0），B（0，﹣3）代入y=kx+b得

，解得.

∴一次函数y=kx+b的解析式为：y=﹣x﹣3.

（2）二次函数y=x2+mx+n图象的顶点为，

∵顶点在直线AB上，∴.

又∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A（﹣3，0），∴9﹣3m+n=0.

∴二者联立，得，解得或．

（3）∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A，∴9﹣3m+n=0.

∵当﹣3≤x≤0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为﹣4，

∴①如答图1，当对称轴﹣3＜＜0时，最小值为.

∴，解得或（由﹣3＜＜0知不符合题意舍去）.∴．

②如答图2，当对称轴＞0时，在﹣3≤x≤0时，x为0时有最小值为﹣4，

把（0，﹣4）代入y=x2+mx+n得n=﹣4，

把n=﹣4代入与9﹣3m+n=0，得m=．

∵＞0，∴m＜﹣2. ∴此种情况不成立.

③当对称轴=0时，y=x2+mx+n的最小值为﹣4，

把（0，﹣4）代入y=x2+mx+n得n=﹣4，

把n=﹣4代入与9﹣3m+n=0，得m=．

∵=0，∴m=0. ∴此种情况不成立.

综上所述，m=2，n=﹣3．

考点：1.二次函数和一次函数综合题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3. 待定系数法的应用；4.二次函数的性质；5..分类思想的应用．