Question

如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=1，ED=2．

（1）求证：∠ABC=∠D；

（2）求AB的长；

（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）直线FA与圆O相切，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）由AB=AC，利用等边对等角得到∠ABC=∠C，再由同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠D，等量代换即可得证.

（2）由（1）的结论与公共角相等，得到△ABE∽△ADB，由相似得比例，即可求出AB的长.

（3）直线FA与圆O相切，理由为：连接OA，由BD为直径，得到∠BAD为直角，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD的长，得到AB=OB=OA，得到∠FBA=∠F，∠BAO=∠BOA，确定出∠OAF为直角，即可得证．

试题解析：解：（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.

∵∠C与∠D都对，且在AB的同侧，∴∠C=∠D.

∴∠ABC=∠D.

（2）∵∠ABC=∠D，∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB. ∴.

∵AE=1，ED=2，∴，解得：AB=.

（3）直线FA与圆O相切．理由如下：

如答图，连接OA，

∵BD为圆O的直径，∴∠BAD=90°.

在Rt△ABD中，AB=，AD=1+2=3，

根据勾股定理得：BD=2，

∴OB=OA=AB=.

∵BF=OB，∴AB=FB=OB. ∴∠FBA=∠F，∠BAO=∠BOA.

∴∠OAF=90°.

∴直线AF与圆O相切．

考点：1.等腰三角形的性质；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定与性质；4.切线的判定；5.勾股定理．