Question

如图，已知抛物线与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C.

（1）直接写出A、D、C三点的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标；

（3）设点C关于抛物线对称的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）A(4，0) 、D(－2，0)、C(0，－3)；（2）连接AC，则AC与抛物线的对称轴交点M即为所求，M (1，)；（3）存在，(－2，0)或(6，6).

【解析】

试题分析：（1）在中令，解得，

∴A(4，0) 、D(－2，0).

在中令，得，∴C(0，－3).

（2）连接AC，根据轴对称的性质，AC与抛物线的对称轴交点M即为所求，从而应用待定系数法求出AC的解析式，再求出抛物线的对称轴，即可求得点M的坐标.

（3）分BC为梯形的底边和BC为梯形的腰两种情况讨论即可.

试题解析：（1）A(4，0) 、D(－2，0)、C(0，－3)

（2）如图，连接AC，则AC与抛物线的对称轴交点M即为所求.

设直线AC的解析式为，则，解得.

∴直线AC的解析式为.

∵的对称轴是直线，

把x=1代入得

`∴M(1，).

（3）存在，分两种情况：

①如图，当BC为梯形的底边时，点P与D重合时，四边形ADCB是梯形，此时点P为(－2，0).

②如图，当BC为梯形的腰时，过点C作CP//AB，与抛物线交于点P，

∵点C，B关于抛物线对称，∴B(2，－3)

设直线AB的解析式为，则，解得.

∴直线AB的解析式为.

∵CP//AB，∴可设直线CP的解析式为.

∵点C在直线CP上，∴.

∴直线CP的解析式为.

联立，解得，

∴P(6，6).

综上所述，在抛物线上存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形，点P的坐标为(－2，0)或(6，6).

考点：1.二次函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4. 轴对称的应用（最短线路问题）；5.二次函数的性质；6.梯形存在性问题；7.分类思想的应用.