Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30。点D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，再过F作FE//AC，交AB于E。设CD=x，DF=y.

（1）求y与x的函数关系式；

（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；

（3）当△FED是直角三角形时，求x的值.

Answer

（1）；（2）40；（3）30.

【解析】

试题分析：（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可得∠C=30°，从而在Rt△CDF中，再应用锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可得y与x的函数关系式.

（2）根据菱形四边相等的性质，由AD=DF即AC－CD=DF列方程求解.

（3）首先判断△FED是直角三角形只有∠FDE=90°，得出，解之即为所求.

试题解析：（1）∵∠B=90°，AC=60，AB=30，

∴.∴∠C=30°.∴.

∴y与x的函数关系式为.

（2）当四边形AEFD为菱形时，有AD=DF，

∴AC－CD=DF，即，解得x=40.

∴当四边形AEFD为菱形时，x=40.

（3）如图，当△FED直角三角形是时，只能是∠FDE=90°，

∵DF⊥BC，∠B=90°，∴DF//AB.

又∵FE//AC，∴四边形AEFD为平行四边形. ∴AE=DF.

由DF⊥BC得∠2=90°，∴∠1=∠2. ∴DE//BC.

∴∠3=∠B=90°，∠4=∠C=30°.

在Rt△BOC中，，即60－x= x，

∴x=30.

∴当△FED是直角三角形时，x=30.

考点：1.单动点问题；2. 锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4. 菱形四边的性质；5.方程思想的应用.