Question

如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.

（1）求证：CE=CF；

（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

Answer

（1）证明见解析；（2）GE=BE+GD成立，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．

（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．

试题解析：（1）在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，

∴△CBE≌△CDF（SAS）．∴CE=CF．

（2）GE=BE+GD成立．理由是：

∵由（1）得：△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF.

∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°.

又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．

∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG（SAS）．

∴GE=GF．

∴GE=DF+GD=BE+GD．

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.等腰直角三角形的性质．