Question

阅读材料：

已知，如图（1），在面积为S的△ABC中， BC=a,AC=b, AB=c,内切圆O的半径为r.连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．

∵ .

∴．

（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；

（2）理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O₁与⊙O₂分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r₁和r₂，求的值.

Answer

（1）（2）.

【解析】

试题分析：（1）如图，连接OA、OB、OC、OD，则△AOB、△BOC、△COD和△DOA都是以点O为顶点、高都是r的三角形，根据即可求得四边形的内切圆半径r.

（2）过点D作DE⊥AB于点E，分别求得AE的长，进而BE 的长，然后利用勾股定理求得BD的长；然后根据，，两式相除，即可得到的值.

试题解析：（1）如图（2），连接OA、OB、OC、OD.···················································1分

∵·3分

∴························································································4分

（2）如图（3），过点D作DE⊥AB于点E，

则

·························································6分

∵AB∥DC，∴.

又∵，

∴.即.···········································································9分

考点：三角形的内切圆与内心；三角形的面积；勾股定理．