Question

如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．

（1）①∠MPN=           ；

②求证：PM+PN=3a；

（2）如图2，点O是AD的中点，连接OM、ON，求证：OM=ON；

（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形？并说明理由．

Answer

（1）①60°，②证明见解析；

（2）证明见解析；

（3）四边形MONG是菱形，理由见解析．

【解析】

试题分析：（1）①运用∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC求解，②作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解，

（2）连接OE，由△OMA≌△ONE证明，

（3）连接OE，由△OMA≌△ONE，再证出△GOE≌△NOD，由△ONG是等边三角形和△MOG是等边三角形求出四边形MONG是菱形．

试题解析：（1）①∵四边形ABCDEF是正六边形，

∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°.

又∴PM∥AB，PN∥CD，

∴∠BPM=60°，∠NPC=60°，

∴∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC=180°-60°-60°=60°，

故答案为；60°．

②如图1，作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，

MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN.

∵正六边形ABCDEF中，PM∥AB，作PN∥CD，

∵∠AMG=∠BPH=∠CPL=∠DNK=60°，

∴，

∵AM=BP，PC=DN，

∴MG+HP+PL+KN=a，GH=LK=a，

∴MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3a．

（2）如图2，连接OE，

∵四边形ABCDEF是正六边形，AB∥MP，PN∥DC，

∴AM=BP=EN，

又∵∠MAO=∠NOE=60°，OA=OE，

在△ONE和△OMA中，

，

∴△OMA≌△ONE（SAS），

∴OM=ON．

（3）如图3，连接OE，

由（2）得，△OMA≌△ONE，

∴∠MOA=∠EON，

∵EF∥AO，AF∥OE，

∴四边形AOEF是平行四边形，

∴∠AFE=∠AOE=120°，

∴∠MON=120°，

∴∠GON=60°，

∵∠GON=60°-∠EON，∠DON=60°-∠EON，

∴∠GOE=∠DON，

∵OD=OE，∠ODN=∠OEG，

在△GOE和∠DON中，

，

∴△GOE≌△NOD（ASA），

∴ON=OG，

又∵∠GON=60°，

∴△ONG是等边三角形，

∴ON=NG，

又∵OM=ON，∠MOG=60°，

∴△MOG是等边三角形，

∴MG=GO=MO，

∴MO=ON=NG=MG，

∴四边形MONG是菱形．

考点：四边形综合题．