Question

如图，直线PQ与⊙O相交于点A、B，BC是⊙O的直径，BD平分∠CBQ交⊙O于点D，过点D作DE⊥PQ，垂足为E．

（1）求证：DE与⊙O相切；

（2）连结AD，己知BC=10，BE=2，求sinBAD的值．

Answer

（1）证明见解析；

（2）sin∠BAD=．

【解析】

试题分析：（1）连结OD，利用角平分线的定义得∠CBD=∠QBD，而∠OBD=∠ODB，则∠ODB=∠QBD，于是可判断OD∥BQ，由于DE⊥PQ，根据平行线的性质得OD⊥DE，则可根据切线的判定定理得到DE与⊙O相切；

（2）连结CD，根据圆周角定理由BC是⊙O的直径得到∠BDC=90°，再证明Rt△BCD∽△BDE，利用相似比可计算出BD=2，在Rt△BCD中，根据正弦的定义得到sin∠C=，然后根据圆周角定理得∠BAD=∠C，即有sin∠BAD=．

试题解析：（1）连结OD，如图，

∵BD平分∠CBQ交⊙O于点D，

∴∠CBD=∠QBD，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠ODB=∠QBD，

∴OD∥BQ，

∵DE⊥PQ，

∴OD⊥DE，

∴DE与⊙O相切；

（2）连结CD，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BDC=90°，

∵DE⊥AB，

∴∠BED=90°，

∵∠CBD=∠QBD，

∴Rt△BCD∽△BDE，

∴，即，∴BD=2，

在Rt△BCD中，sin∠C=，

∵∠BAD=∠C，

∴sin∠BAD=．

考点：切线的判定．